Não pode. Instalar rede de proteção na varanda pra segurança de criança (ou pet) é direito do morador — e não depende de autorização prévia do síndico ou do conselho.
O que já ficou decidido
É entendimento consolidado desde 2016 no Tribunal de Justiça do Distrito Federal: a segurança de criança prevalece mesmo quando a instalação altera visualmente a fachada, e o condomínio não pode multar nem exigir remoção só por não ter passado por aprovação prévia.
O que o condomínio ainda pode regular
A convenção pode padronizar cor e modelo da rede, pra manter uniformidade visual — mas não pode proibir a instalação em si nem usar isso como motivo de multa.
Recorte pro síndico: se o regimento do seu prédio ainda trata rede de proteção como "depende de aprovação da obra", vale revisar o texto — é o tipo de regra que não se sustenta se for parar na Justiça.